РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 652135 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 449

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы сложения и вычитания

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $4 синус в квадрате левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2 x = 1.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 6 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Используем формулу косинуса двойного угла, затем  — формулу косинуса суммы:

$4 синус в квадрате левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2 x = 1 равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2x=1 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 2x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2x = минус 1 равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 2x =1 равносильно$
$равносильно косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби равносильно 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $4 синус в квадрате левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2 x = 1 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2x=1 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 2x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2x = минус 1 равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 2x =1 равносильно$
$равносильно косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби равносильно 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $4 синус в квадрате левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2 x = 1 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 1 минус косинус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2x=1 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 2x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус 2x = минус 1 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус 2x =1 равносильно косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби равносильно$
$равносильно 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят: $дробь: числитель: 39 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 47 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 39 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 47 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

652135

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 39 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 47 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 449

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы сложения и вычитания

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	652135	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 39 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 47 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$