РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 650560 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 448

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей

Планиметрическая задача. Окружности и треугольники, разные задачи

Окружность с центром в точке С касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D  — основание высоты, опущенной из вершины С. Точки O₁ и O₂  — центры окружностей, вписанных в треугольники ВСD и АСD.

а)  Докажите, что точки O₁ и O₂ лежат на отрезке EF.

б)  Найдите расстояние от точки С до прямой O₁O₂, если $AC = 15$ и $BC = 20.$

Решение. а)  Отрезок CD  — радиус окружности, поэтому треугольник CDE равнобедренный. Отрезок CO₁  — биссектриса угла ECD, поэтому треугольники ECO₁ и DCO₁ равны. Тогда

$\angle O_1ED = \angle O_1DE = \angle O_1 DA минус \angle EDA = 45 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \smile ED =$
$= 45 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle ECD = 45 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 90 градусов минус \angle DCF правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \smile DF = \angle DEF.$ $\angle O_1ED = \angle O_1DE = \angle O_1 DA минус \angle EDA =$
$= 45 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \smile ED = 45 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle ECD =$
$= 45 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 90 градусов минус \angle DCF правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \smile DF = \angle DEF.$

Отсюда точка O₁ лежит на хорде EF. Совершенно аналогично получим, что точка O₂ лежит на отрезке EF.

б)  Из подобия треугольников ABC и ACD следует, что

$CD = дробь: числитель: AC умножить на CB, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 15 умножить на 20, знаменатель: корень из: начало аргумента: 15 в квадрате плюс 20 в квадрате конец аргумента конец дроби = 12.$

Тогда $CE = CF = 12.$ Расстояние от точки С до отрезка O₁O₂ равно высоте треугольника CEF. Треугольник прямоугольный и равнобедренный, значит, расстояние равно половине гипотенузы EF, то есть $6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Ответ: б) $6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) $6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

650560

б) $6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 448

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	650560	б) $6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$