PDF-версии: 
Найдите все ненулевые значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Решение. Преобразуем систему:
Построим график функции 
при 
(см. рис.). Для того, чтобы система имела ровно три решения, необходимо, чтобы уравнение
имело одно решение при 
и одно решение при 
Заметим, что
является решением при всех 
Значит, нужно найти такие значения a, для которых уравнение имеет один корень на (−4; 0] и не имеет корней при 
Если 
то уравнение (⁎) имеет единственное решение 
поскольку его левая часть убывает, а правая — возрастает. При 
уравнение (⁎) также имеет единственное решение. Следовательно, 
а тогда функция 
возрастает и пересекается с прямой 
на полуинтервале 
тогда и только тогда, когда одновременно 
и 
Имеем:
Ответ: 
Приведем решение, где множество значений функции выясняется при помощи производной и пределов.
Преобразуем систему:
Построим график функции при (см. рис.). Для того, чтобы система имела ровно три решения, необходимо, чтобы уравнение 
имело одно решение при и одно решение при Заметим, что является решением при всех Значит, нужно найти такие значения a, для которых уравнение имеет один корень на (−4; 0] и не имеет корней при
Запишем это уравнение в виде
Найдем множество значений функции
Найдем производную:
Производная обращается в нуль, если 
Запишем это уравнение в виде 
и рассмотрим уравнение 
для функции
при 
Найдем производную:
Найденная производная положительна при 
а потому функция 
возрастает, а уравнение не имеет решений. Следовательно, производная 
сохраняет знак при Взяв в качестве пробной точки 
заключаем, что 
Таким образом, показано, что функция 
убывает на (−4; ∞). Найдем пределы:
Необходимо было найти такие значения a, для которых уравнение 
имеет один корень на (−4; 0] и не имеет корней на луче (0; ∞). Множество значений 
функции на полуинтервале есть 
Таким образом, 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |