РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 650211 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 447

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы, Метод интервалов

Неравенства. Другие неравенства смешанного типа

Решите неравенство:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 10 минус x правая круглая скобка , знаменатель: синус x умножить на логарифм по основанию x левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Решение. Найдём ОДЗ неравенства:

$система выражений 4 минус x больше 0, 4 минус x не равно 1, x плюс 5 больше 0, x плюс 1 больше 0, x плюс 1 не равно 1, логарифм по основанию 2 10 минус x больше 0, синус x не равно 0, x больше 0, x не равно 1, 2x больше 0, 2x не равно 1 конец системы . равносильно система выражений 0 меньше x меньше логарифм по основанию 2 5 плюс 1, x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , x не равно 1, x не равно 3 , x не равно Пи . конец системы .$

Используя метод рационализации, заключаем, что на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

$дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 5 плюс 1 минус x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 \underset ОДЗ \mathop равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 5 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $дробь: числитель: левая круглая скобка 4 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 5 плюс 1 минус x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 \underset ОДЗ \mathop равносильно$
$\mathop равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 5 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого сравним числа $логарифм по основанию 2 5 плюс 1$ и $Пи .$ Заметим, что

$дробь: числитель: 3125, знаменатель: 1024 конец дроби больше 2 \Rightarrow левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени 5 больше 2 \Rightarrow дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби больше 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \Rightarrow 5 больше 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow 5 больше 2 в степени левая круглая скобка 2,2 правая круглая скобка \Rightarrow логарифм по основанию 2 5 больше 2,2 \Rightarrow логарифм по основанию 2 5 плюс 1 больше 3,2 больше Пи .$ $дробь: числитель: 3125, знаменатель: 1024 конец дроби больше 2 \Rightarrow левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени 5 больше 2 \Rightarrow дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби больше 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow 5 больше 4 умножить на 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка \Rightarrow 5 больше 2 в степени левая круглая скобка 2,2 правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow логарифм по основанию 2 5 больше 2,2 \Rightarrow логарифм по основанию 2 5 плюс 1 больше 3,2 больше Пи .$

Получаем:

Таким образом,

$совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1 , логарифм по основанию 2 5 меньше или равно x меньше 3, Пи меньше x меньше логарифм по основанию 2 5 плюс 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 5 ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка Пи ; логарифм по основанию 2 5 плюс 1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

650211

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 5 ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка Пи ; логарифм по основанию 2 5 плюс 1 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 447

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	650211	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 5 ; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка Пи ; логарифм по основанию 2 5 плюс 1 правая круглая скобка .$