PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра 
и 
На ребрах AA1 и CD отмечены точки
а) Докажите, что точка M является серединой ребра DD1.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости BKP.
Решение. а) Соединим точку B с точками P и K, через точку K проведем прямую, параллельную прямой BP. Она лежит в плоскости сечения, так как параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым. Пусть M — точка пересечения этой прямой с ребром DD1, BKMP — сечение. Прямые KM и BP, а также прямые AB и CD — параллельны, следовательно,
Таким образом, прямоугольные треугольники MKD и PBA подобны. Тогда 
и 
откуда
Следовательно, точка M — середина DD1.
б) Пусть N — точка пересечения плоскости BKP с прямой AD (также через нее проходят прямые
В плоскости MDL из точки D опустим перпендикуляр DH на прямую ML. Тогда отрезок DH перпендикулярен плоскости BKP и его длина является расстоянием до этой плоскости от точки D. Треугольники NDK и NAB подобны, следовательно,
Далее находим:
откуда
а значит, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |