РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Три двузначных натуральных числа x₁, x₂, x₃ образуют арифметическую прогрессию. При этом если в каждом из них поменять местами цифры десятков и единиц, то получатся числа y₁, y₂, y₃, которые также образуют арифметическую прогрессию.

а)  Приведите пример такой прогрессии.

б)  Чему равна наибольшая разность такой прогрессии?

в)  Сколько существует таких прогрессий?

Решение. а)  Например, подходят 12, 23, 34.

б)  Разность между первым и последним членами прогрессии равна удвоенной разности прогрессии и не превосходит $99 минус 10 = 89,$ поэтому разность прогрессии не может быть больше $дробь: числитель: 89, знаменатель: 2 конец дроби = целая часть: 44, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 .$ Значит, максимальная разность равна 44. Это значение достигается для прогрессии 11, 55, 99.

в)  Обозначим первые цифры чисел x₁, x₂, x₃ за a₁, a₂, a₃, а вторые  — b₁, b₂, b₃. Тогда:

$x_1 = 10 a_1 плюс b_1,$

$x_2 = 10 a_2 плюс b_2,$

$x_3 = 10 a_3 плюс b_3.$

Чтобы три числа образовывали прогрессию, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие

$x_2 минус x_1 = x_3 минус x_2,$

то есть $2 x_2 = x_1 плюс x_3$ или

$2 левая круглая скобка 10a_2 плюс b_2 правая круглая скобка = 10 a_1 плюс b_1 плюс 10 a_3 плюс b_3.$

Аналогично чтобы y₁, y₂, y₃ образовывали прогрессию, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие

$2 левая круглая скобка a_2 плюс 10 b_2 правая круглая скобка = a_1 плюс 10 b_1 плюс a_3 плюс 10 b_3.$

Домножим второе условие на 10 и вычтем из него первое. Получим $198 b_2 = 99 b_1 плюс 99 b_3,$ откуда $2 b_2 = b_1 плюс b_3.$ Следовательно, последние цифры чисел образуют арифметическую прогрессию. Из второго условия тогда получаем, что и $2a_2 = a_1 плюс a_3,$ то есть первые цифры чисел образуют арифметическую прогрессию. Ясно, что условий $2 b_2 = b_1 плюс b_3$ и $2 a_2 = a_1 плюс a_3$ будет и достаточно для выполнения условий

$2 левая круглая скобка 10a_2 плюс b_2 правая круглая скобка =10a_1 плюс b_1 плюс 10a_3 плюс b_3,$

$2 левая круглая скобка a_2 плюс 10b_2 правая круглая скобка =a_1 плюс 10b_1 плюс a_3 плюс 10b_3.$

Осталось учесть прогрессии, составленные из ненулевых цифр. Нужно выбрать две цифры одной четности (это будут b₁ и b₃), а затем взять $b_2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка b_1 плюс b_3 правая круглая скобка .$ Всего есть 5 нечетных цифр и 4 четных. Выбрать две нечетных можно $5 умножить на 5 = 25$ способами, а две четных $4 умножить на 4 = 16$ способами (порядок важен, прогрессии 1, 3, 5 и 5, 3, 1 например, это разные прогрессии). Итак, есть $25 плюс 16 = 41$ способ составить прогрессию из цифр. Нужно выбрать любой из таких способов для первых цифр наших чисел и любой способ для вторых цифр, что дает $41 умножить на 41 = 1681$ вариант.

Ответ: а) 12, 23, 34; б)  44; в)  1681.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	649751	а) 12, 23, 34; б)  44; в)  1681.

Ключ