PDF-версии: 
Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках М и N соответственно. Известно, что 
и 
а) Докажите, что 
б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен 
Решение. Пусть вписанная окружность касается основания BC в точке G, а основания AD — в точке F. Пусть также
Тогда 
и 
Отрезок GF — диаметр окружности, а следовательно, высота трапеции. Тогда, записав две теоремы Пифагора, получим, что
откуда
значит, 
Следовательно,
Что и требовалось доказать.
б) Из решения пункта а) получим, что
откуда 
то есть
По формуле косинуса двойного угла находим:
Аналогично 
и тогда
Аналогично 
Далее заметим, что по свойству угла между касательной и хордой 
и 
Отсюда имеем:
Ответ: б) 18.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |