Ре­ше­ние. б)  Обо­зна­чим ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды ABC, а вер­ши­ну D. Пусть точка O  — центр ос­но­ва­ния, точка M  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с вы­со­той DO, ее се­ре­ди­на, точка O₁  — центр впи­сан­но­го шара, точка  K  — се­ре­ди­на ребра  AB, точка  H  — ос­но­ва­ние ра­ди­у­са впи­сан­но­го шара, опу­щен­но­го на апо­фе­му DK. На­хо­дим:

Обо­зна­чим r  =  O₁H  =  OO₁. Тре­уголь­ни­ки DOK и DHO₁ по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

Вы­чис­лим рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти α:

а)  За­ме­тим, что

по­сколь­ку Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти α боль­ше ра­ди­у­са, и шар с плос­ко­стью не пе­ре­се­ка­ет­ся.

Ответ: б)

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та а).

Ра­ди­ус шара, впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду ABCD равен где V  — объем пи­ра­ми­ды, S_п.п.  — пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды. Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, равен вы­со­та пи­ра­ми­ды равна

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна где p  — по­лу­пе­ри­метр ос­но­ва­ния,   — ра­ди­ус впи­сан­ной в ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды окруж­но­сти, h  — апо­фе­ма пи­ра­ми­ды. Тогда

Най­дем ра­ди­ус шара, впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду:

Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна сле­до­ва­тель­но, по­сколь­ку плос­кость α про­хо­дит через се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды, рас­сто­я­ние между плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды и плос­ко­стью α равно по­это­му плос­кость α и шар не имеют общих точек.