РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 649745 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 446

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной, Разложение на множители

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $750 в степени левая круглая скобка косинус 3 x правая круглая скобка плюс 6 умножить на 125 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс косинус 3 x правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 5 косинус 3 x правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка 1 плюс косинус 3 x правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Пусть $t = косинус 3x,$ тогда:

$750 в степени t плюс 6 умножить на 125 в степени левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 плюс t = 5 в степени левая круглая скобка 5 t правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 3t правая круглая скобка умножить на 6 в степени t плюс 30 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 3t правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 5t правая круглая скобка плюс 30 умножить на 5 в степени t умножить на 6 в степени t равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка умножить на 6 в степени t плюс 30 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 4t правая круглая скобка плюс 30 умножить на 6 в степени t равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка левая круглая скобка 6 в степени t минус 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка правая круглая скобка минус 30 левая круглая скобка 6 в степени t минус 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 в степени t минус 25 в степени t правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка = 30, 6 в степени t = 25 в степени t конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2t = логарифм по основанию 5 30, левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: конец дроби 25 правая круглая скобка в степени t = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений t = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 5 30, t = 0. конец совокупности .$ $750 в степени t плюс 6 умножить на 125 в степени левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 плюс t = 5 в степени левая круглая скобка 5 t правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 3t правая круглая скобка умножить на 6 в степени t плюс 30 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 3t правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 5t правая круглая скобка плюс 30 умножить на 5 в степени t умножить на 6 в степени t равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка умножить на 6 в степени t плюс 30 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 4t правая круглая скобка плюс 30 умножить на 6 в степени t равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка левая круглая скобка 6 в степени t минус 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка правая круглая скобка минус 30 левая круглая скобка 6 в степени t минус 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 в степени t минус 25 в степени t правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка = 30, 6 в степени t = 25 в степени t конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2t = логарифм по основанию 5 30, левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: конец дроби 25 правая круглая скобка в степени t = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений t = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 5 30, t = 0. конец совокупности .$ $750 в степени t плюс 6 умножить на 125 в степени левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 плюс t = 5 в степени левая круглая скобка 5 t правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 3t правая круглая скобка умножить на 6 в степени t плюс 30 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 3t правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 5t правая круглая скобка плюс 30 умножить на 5 в степени t умножить на 6 в степени t равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка умножить на 6 в степени t плюс 30 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 4t правая круглая скобка плюс 30 умножить на 6 в степени t равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка левая круглая скобка 6 в степени t минус 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка правая круглая скобка минус 30 левая круглая скобка 6 в степени t минус 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 в степени t минус 25 в степени t правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка = 30, 6 в степени t = 25 в степени t конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2t = логарифм по основанию 5 30, левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: конец дроби 25 правая круглая скобка в степени t = 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений t = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 5 30, t = 0. конец совокупности .$ $750 в степени t плюс 6 умножить на 125 в степени левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 плюс t = 5 в степени левая круглая скобка 5 t правая круглая скобка плюс 30 в степени левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 3t правая круглая скобка умножить на 6 в степени t плюс 30 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 3t правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 5t правая круглая скобка плюс 30 умножить на 5 в степени t умножить на 6 в степени t равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка умножить на 6 в степени t плюс 30 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 4t правая круглая скобка плюс 30 умножить на 6 в степени t равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка левая круглая скобка 6 в степени t минус 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка правая круглая скобка минус 30 левая круглая скобка 6 в степени t минус 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка минус 30 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 в степени t минус 25 в степени t правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 5 в степени левая круглая скобка 2t правая круглая скобка = 30, 6 в степени t = 25 в степени t конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2t = логарифм по основанию 5 30, левая круглая скобка дробь: числитель: 6, знаменатель: конец дроби 25 правая круглая скобка в степени t = 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений t = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 5 30, t = 0. конец совокупности .$

Заметим, что

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 5 30 больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 5 25 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 = 1,$

поэтому уравнение $косинус 3x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 5 30$ не имеет решений. Осталось решить уравнение $косинус 3x = 0:$

$косинус 3x = 0 равносильно 3x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z .$ $косинус 3x = 0 равносильно 3x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно$
$равносильно x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности. Подходят: $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

649745

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 446

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Замена переменной, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	649745	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$