Тип 19 № 648777 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 175, а во втором каждое число равно 80. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 145.
а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число n. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 132?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число m. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 135?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число k, одновременно уменьшив на k каждое число другого набора, при условий, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?
Решение. Пусть в первом наборе x чисел, а во втором y чисел. Тогда по условию
откуда
Значит, x кратно 13. Пусть 
тогда 
Во всех ситуациях, когда нужный пример удастся построить, будет неважно, какое t взять; можно везде считать t единицей.
а) Теперь есть 13t чисел по 175 – n и 6t чисел по 80, поэтому их среднее арифметическое равно
откуда
Значит, это возможно.
б) Теперь есть 13t чисел по 175 – m и 6t чисел по 80, их среднее арифметическое равно
откуда
Это уравнение не имеет натуральных решений. Значит, это невозможно.
в) Будем считать, что каждое число первого набора увеличили на k, разрешив k быть отрицательным. Тогда 
Теперь есть 13t чисел по 175 + k и 6t чисел по 80 – k, их среднее арифметическое равно
откуда k кратно 19. В указанном промежутке лежат числа
Таким образом, получиться может число вида 
где 
Кроме того, следует запретить a = 0, поскольку для него оба набора не меняются.
Ответ: а) да; б) нет; в) 82, 89, 96, 103, 110, 117, 124, 131, 138, 152, 159, 166, 173.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет; в) 82, 89, 96, 103, 110, 117, 124, 131, 138, 152, 159, 166, 173.
648777
а) да; б) нет; в) 82, 89, 96, 103, 110, 117, 124, 131, 138, 152, 159, 166, 173.
PDF-версии: 
