PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали пересекаются в точке О. Точки М и N — середины ребер
а) Докажите, что плоскость α, проходящая через точку О параллельно прямым B1M и C1N, делит ребро BB1 в отношении 1 : 1.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α, если AB = 6, BC = 4 и AA1 = 3.
Решение. a) Точка O принадлежит прямой B1D, следовательно, точка O принадлежит плоскости B1DM. В плоскости DB1M проведем отрезок OT, параллельный отрезку B1M, где точка T принадлежит плоскости ABC, тогда точка T принадлежит также плоскости α. Точка O принадлежит прямой AC1. В плоскости AC1N проведем отрезок OP, параллельный отрезку C1N, где точка P принадлежит плоскости ABC, тогда точка P принадлежит также плоскости α. Таким образом, прямая TP — линия пересечения плоскости ABC с плоскостью α. Пусть K и G — точки пересечения прямой TP с ребрами AB и AD соответственно. Через точку K проведем прямую, параллельную прямой B1M, пусть S — точка ее пересечения с ребром BB1, через точку S проведем прямую, параллельную прямой C1N, пусть E — точка ее пересечения с ребром B1C1, через точку E проведем прямую, параллельную прямой GK, пусть F — точка ее пересечения с ребром C1D1, через точку E проведем прямую, параллельную прямой KS, пусть L — точка ее пересечения с ребром DD1. Тогда GKSEFL — сечение параллелепипеда плоскостью α.
Пусть TW — средняя линия треугольника ADM, тогда 
Точку пересечения прямой GK с прямой BC обозначим Q. Треугольники QPN и GPA равны по стороне 
и двум прилежащим углам. Следовательно, QN = GA, а так как BN = AW, то QB = GW и треугольники KBQ и TWG равны по катету и острому углу. Тогда
и K — середина MB, а поскольку прямые KS и B1M параллельны, то точка S — середина BB1 и BS : SB1 = 1 : 1.
б) Прямая C1N параллельна плоскости α, следовательно, расстояние от точки C1 до плоскости α равно расстоянию от точки N до плоскости α. Заметим, что Q — точка пересечения прямой BC с плоскостью α. Треугольники QBK и PMK равны по катету (MK = BK) и острому углу, следовательно,
значит, 
и 
В плоскости ABC проведем отрезок BR, перпендикулярный GQ, отрезок BR является проекцией отрезка SR на плоскость ABC, и по теореме о трех перпендикулярах GQ и SR перпендикулярны, следовательно, прямая GQ перпендикулярна плоскости SBR. В плоскости SBR из точки B опустим перпендикуляр BH на прямую SR. Тогда 
следовательно, BH является перпендикуляром к плоскости α и 
откуда
следовательно,
Таким образом, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |