PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет нечетное число корней на отрезке [1; 4].
Решение. Разложим числитель на множители:
Следовательно,
Второе уравнение совокупности задает окружность радиусом 
с центром в точке 
Точки, лежащие на прямых 
и 
не удовлетворяют системе. Построим график совокупности в системе координат xOa для х, лежащих на отрезке [1; 4]. Обозначим точки, как показано на рисунке. Для значений переменной их отрезка [1; 4] система задает:
— часть дуги параболы 
(выделено синим), лежащую между точками A(1; 1) и D(4; 2), без точки А;
— дугу BG окружности (выделено охрой) с выколотой точкой E. Координаты точки E найдем из системы уравнений:
Таким образом, 
Прямая x = 4 касается окружности. Прямая x = 1 пересекает окружность в точках B и G, ординаты которых найдем из уравнения:
Горизонтальная прямая либо не пересекает график совокупности, либо пересекает его в одной или в двух точках. Нечетное число решений исходная система имеет тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая единственный раз пересекает график совокупности с выколотыми точками. Следовательно, подходят значения параметра, при которых горизонтальная прямая:
а) касается окружности в точке С;
б) лежит выше точки В, но не выше точки А;
в) лежит не ниже точки D, но ниже точки G, за исключением прямой, проходящей через точку D;
г) касается окружности в точке F.
Следовательно, искомыми являются значения параметра:
за исключением 
Ответ: 
Приведем другое решение.
Разложим числитель дроби на множители:
Исходное уравнение равносильно системе:
Рассмотрим систему (⁎) полученной совокупности на отрезке [1; 4]:
Таким образом, при 
или 
система (⁎) не имеет решений на отрезке [1; 4], при 
имеет одно решение.
Рассмотрим систему (⁎⁎). Запишем уравнение 
в виде 
Условие 
означает, что 
откуда: 
и 
Найдём решения системы при этих значениях:
Если 
то: 
Если 
то: 
Если 
то: 
Построим график функции 
на отрезке [1; 4] (см. рис.) Пользуясь графиком, заключаем, что уравнение 
— не имеет корней при
— имеет один корень при
или при
— имеет два корня при
Решения систем (⁎) и (⁎⁎) могут совпадать, только если
Сведём результаты исследования в таблицу:
| Значение параметра a | Количество решений системы (⁎) на отрезке [1; 4] | Количество решений системы (⁎⁎) на отрезке [1; 4] | Количество корней исходного уравнения на отрезке [1; 4] |
|---|---|---|---|
 | 0 | 0 | 0 |
 | 0 | 1 | 1 |
 | 0 | 2 | 2 |
 | 0 | 1 | 1 |
 | 1 | 1 | 2 |
 | 1 (x = 4) | 1 (x = 4) | 1 |
 | 0 | 1 | 1 |
 | 0 | 0 | 0 |
 | 0 | 1 | 1 |
 | 0 | 2 | 2 |
 | 0 | 1 | 1 |
 | 0 | 0 | 0 |
Таким образом, исходное уравнение имеет нечетное число корней на отрезке [1; 4] при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |