РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 646085 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 436

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Источник/автор: Артур Анищенко

Планиметрическая задача. Описанные окружности и треугольники

Остроугольный треугольник АВС вписан в окружность ω. Точки O₁ и O₂  — центры вневписанных окружностей ω₁ и ω₂, касающихся отрезков АВ и АС соответственно. Точка М  — середина большей дуги ВС окружности ω.

а)  Докажите, что точка М лежит на прямой O₁O₂.

б)  На биссектрисе угла ВАС выбрана точка К такая, что $A K в квадрате = A O_1 умножить на A O_2.$ Найдите радиус описанной окружности треугольника ВКС, если сумма радиусов окружностей ω₁ и ω₂ равна $5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и $\angle B A C = 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Решение. а)  Пусть N  — вторая точка пересечения прямой O₁O₂ и окружности ω. Заметим, что

$\angle BCN = \angle BAN = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle BAC правая круглая скобка = 90 градусов минус дробь: числитель: \angle BAC, знаменатель: 2 конец дроби .$

Второе равенство следует из того, что O₁A делит пополам внешний угол треугольника ABC при вершине A. Имеем:

$\angle CBN = 180 градусов минус \angle CAN = 180 градусов минус \angle BAC минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle BAC правая круглая скобка = 90 градусов минус дробь: числитель: \angle BAC, знаменатель: 2 конец дроби = \angle BCN.$ $\angle CBN = 180 градусов минус \angle CAN = 180 градусов минус \angle BAC минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle BAC правая круглая скобка =$
$= 90 градусов минус дробь: числитель: \angle BAC, знаменатель: 2 конец дроби = \angle BCN.$ $\angle CBN = 180 градусов минус \angle CAN =$
$= 180 градусов минус \angle BAC минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle BAC правая круглая скобка =$
$= 90 градусов минус дробь: числитель: \angle BAC, знаменатель: 2 конец дроби = \angle BCN.$

Таким образом, треугольник BNC равнобедренный, то есть точка N совпадает с точкой M, а потому лежит на прямой O₁O₂.

б)  Отрезок AO₁  — биссектриса внешнего угла A треугольника ABC, AK  — биссектриса внутреннего угла A, поэтому прямые KA и O₁O₂ перпендикулярны. Пусть OH₂  — радиус ω₂, $\angle HAO_2 = 60 градусов ,$ следовательно, $AO_2 = дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из 3 конец дроби умножить на OH_2.$ Аналогично OH₁  — радиус ω₁ и $AO_1 = дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из 3 конец дроби OH_1,$ тогда

$O_1O_2 = дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из 3 конец дроби левая круглая скобка OH_1 плюс OH_2 правая круглая скобка = 10.$

Из условия $AK:AO_1 = O_2A:AK$ получаем, что

$\angle AKO_1 = \angle AO_2K = 90 градусов минус \angle AKO_2,$

тогда $\angle O_2KO_1 = 90 градусов ,$ $\angle O_1BO_2 = \angle O_1CO_2 = 90 градусов.$ Тем самым точки B, C, K лежат на одной окружности с диаметром O₁O₂. Значит, ее радиус равен 5.

Ответ: б) 5.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 5.

646085

б) 5.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 436

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	646085	б) 5.