PDF-версии: 
Основанием треугольной призмы ABC1B1C1 является правильный треугольник ABC со стороной 1, а боковое ребро 
а) Докажите, что прямые АМ и A1C перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми A1C и BC1.
Решение. а) Отрезок AM является медианой и высотой основания, поэтому содержащая его прямая АМ перпендикулярна прямой BC. Прямая BC является проекцией прямой A1C на плоскость основания ABC. Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах прямые AM и A1C взаимно перпендикулярны.
б) В плоскости AA1C через точку С1 проведем прямую, параллельную прямой A1C. Пусть D — точка пересечения этой прямой с прямой AC. Плоскость B1D параллельна прямой A1C и содержит прямую BC1, следовательно, расстояние между прямыми A1C и BC1 равно расстоянию от точки C до плоскости BC1D. Найдем его вычислив двумя способами объем пирамиды BCDC1. Заметим, что:
Далее находим: 
откуда получаем площадь треугольника BCD:
а тогда 
откуда 
поэтому
Значит,
Таким образом, расстояние между прямыми A1C и BC1 равно
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |