PDF-версии: 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M середина SC, точка N делит ребро SB в
а) Докажите, что точки A, E, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найдите расстояние от точки S до этой плоскости, если AB = 2, а высота пирамиды равна 
Решение. а) Проведем диагональ основания AE. Через точку N в плоскости SBD проведем прямую, параллельную отрезкуBD и, следовательно, отрезку AE. Пусть K — точка пересечения этой прямой с ребром SD. Прямые AE и NK параллельны, поэтому точки A, E, N и K лежат в одной плоскости. В плоскости SBE проведем прямую EN. Пусть Q — точка пересечения прямой EN с высотой пирамиды SO, где точка O — центр основания. Запишем теорему Менелая для треугольника SBO и прямой EN:
откуда
Пусть P — точка пересечения отрезков AE и CF. Заметим, что точка P — середина отрезка FO, а потому 
В плоскости SFC проведем прямую PQ. Пусть M' — точка пересечения прямой PQ с ребром SC. Заметим, что точка M' лежит в плоскости ANKE. Запишем теорему Менелая для треугольника SCO и прямой PQ:
а тогда
Это означает, что точка M' является серединой SC и совпадает с точкой M. Таким образом, точка M лежит в плоскости ANKE.
б) Заметим, что прямая AE перпендикулярна прямой CF, кроме того, прямая AE перпендикулярна высоте пирамиды SO, следовательно, прямая AE перпендикулярна плоскости SFC. В плоскости SFC опустим перпендикуляр SH на прямую PQ, отрезок SH также перпендикулярен прямой AE и, следовательно, плоскости сечения ANMKE. Таким образом, длина отрезка SH является расстоянием от точки S до плоскости сечения. Находим:
откуда
Прямоугольные треугольники SHQ и POQ подобны по двум углам, следовательно,
тогда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |