РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 645663 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 434

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение: $дробь: числитель: левая круглая скобка тангенс x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 31 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x правая круглая скобка конец дроби = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Данное уравнение определено при следующих ограничениях:

$система выражений косинус x не равно 0, 2 синус в квадрате x больше 0, корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x больше 0, корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x \not= 1 конец системы . равносильно система выражений синус x\not=0, косинус x больше 0, косинус x \not= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби конец системы . равносильно система выражений косинус x больше 0, косинус x \not= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби , косинус x\not= 1. конец системы .$

При этих ограничениях исходное уравнение равносильно следующей совокупности:

$совокупность выражений тангенс x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =0, 2 синус в квадрате x=1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений тангенс x= минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$

Ограничениям удовлетворяет только серия $x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби \leqslant минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби равносильно совокупность выражений k = минус 1,k=0. конец совокупности .$

Этим значениям k соответствуют решения $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ и $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

645663

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 434

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	645663	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$