PDF-версии: 
Стороны AB и AD квадрата ABCD касаются окружности, радиус которой втрое меньше стороны квадрата.
а) Докажите, что эта окружность разбивает диагональ BD на три равных отрезка.
б) Касательная к окружности, проведённая через точку B, пересекает сторону CD в точке E. Найдите длину отрезка DE, если сторона квадрата равна 18.
Решение. а) Пусть окружность радиусом R касается стороны AB в точке M и стороны AD в точке L. Точка Q, диаметрально противоположная точке M, удалена от AB на расстояние 2R, удалена от CD на
и удалена от AD на R. Точка Q равноудалена от сторон AD и CD квадрата ABCD, значит, точка Q лежит на диагонали BD и делит её в отношении 1 : 2, считая от D. Аналогично точка P, диаметрально противоположная точке L, лежит на диагонали BD и делит её в отношении 1 : 2, считая от B. Следовательно, 
б) Пусть окружность касается прямой BE в точке F. Продолжим BE до пересечения с прямой AD в точке K. Пусть 
Тогда 
и
По теореме Пифагора: 
то есть
откуда x = 18. Значит, 
Прямоугольные треугольники EDK и ECB подобны с коэффициентом 
следовательно,
Ответ: б) 
Приведем решение Анны Букиной.
а) Пусть R — радиус окружности, тогда сторона квадрата равна 3R. Заметим, что центр окружности лежит на биссектрисе угла DAB, то есть на диагонали квадрата. Пусть P и Q — точки пересечения окружности с диагональю BD, и K — точка пересечения диагоналей квадрата. Заметим, что AK перпендикулярна BD, следовательно, QK = KP и DQ = PB. Найдем OK:
Из прямоугольного треугольника OQK получим:
Тогда
б) Заметим, что BO — биссектиса угла ABE. Из треугольника MBO получим:
Тогда
Углы ABE и BEC равны как накрест лежащие, значит, 
откуда находим:
Приведем решение Василия Полинова (Москва).
а) В силу симметрии относительно прямой AC находим: DQ = PB. Положим
тогда 
По теореме Пифагора в треугольнике ABD находим 
По свойству касательной и секущей получаем: 
то есть 
Исключим а из системы уравнений
Получим однородное уравнение второй степени 
Решением этого уравнения является 
(не подходит) или 
откуда DQ = QP = PB, что и требовалось доказать.
б) Центр окружности лежит на биссектрисе угла MBF, поэтому 
Находим:
По условию 
следовательно,
Находим EC по теореме Пифагора:
Таким образом,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |