Ре­ше­ние.

Рис. 1

а)  От­ре­зок ML  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SAD, по­это­му он па­рал­ле­лен AD (рис. 1). Зна­чит, плос­кость α па­рал­лель­на пря­мым AD и BC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые KN, BC, AD и ML па­рал­лель­ны. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков SKN и SBC сле­ду­ет, что Сле­до­ва­тель­но,

Таким об­ра­зом, четырёхуголь­ник KLMN яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей, длины ос­но­ва­ний ко­то­рой от­но­сят­ся как 3 : 4.

б)  Про­ведём через вы­со­ту пи­ра­ми­ды SABCD плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ную пря­мым BC и AD. Пусть она пе­ре­се­ка­ет пря­мые BC, AD, KN и LM в точ­ках P, Q, T и U со­от­вет­ствен­но. Тогда:

Сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна по­сколь­ку его пло­щадь равна 54. Сле­до­ва­тель­но:

Рис. 2

От­ре­зок TU яв­ля­ет­ся вы­со­той тра­пе­ции KLMN. Зна­чит, по­сколь­ку

Пусть TT₁ и UU₁  — пер­пен­ди­ку­ля­ры, про­ве­ден­ные из точек T и U на SH на пря­мую SH (рис. 2). Тогда из по­до­бия пар тре­уголь­ни­ков ST₁T и SHP, SU₁U и SHQ по­лу­ча­ем:

от­ку­да Таким об­ра­зом:

Ответ: б) 24.