РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 642758 Добавить в вариант

Источник: Задания 13 ЕГЭ–2023

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы понижения степени

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $косинус x умножить на косинус 2 x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс косинус x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение, используя формулу понижения степени:

$косинус x умножить на косинус 2 x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс косинус x равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс косинус x левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс 2 косинус x синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 2 косинус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, косинус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x=\pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус x умножить на косинус 2 x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс косинус x равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс косинус x левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс 2 косинус x синус в квадрате x=0 равносильно синус в квадрате x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 2 косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=0, косинус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x=\pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус x умножить на косинус 2 x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс косинус x равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс косинус x левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс 2 косинус x синус в квадрате x=0 равносильно синус в квадрате x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 2 косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=0, косинус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x=\pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус x умножить на косинус 2 x = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс косинус x равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс косинус x левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус в квадрате x плюс 2 косинус x синус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 2 косинус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, косинус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k,x=\pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка$ с помощью тригонометрической окружности. Получаем числа: $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k;\pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

642758

а) $левая фигурная скобка Пи k;\pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус Пи .$

Источник: Задания 13 ЕГЭ–2023

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы понижения степени

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	642758	а) $левая фигурная скобка Пи k;\pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус Пи .$