Ре­ше­ние. а)  Пусть N  — се­ре­ди­на AC, NH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка PNQ, точка  T  — се­ре­ди­на ребра AB. Тогда CT и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны, так как NP и CT па­рал­лель­ны, то NM и NP пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая  MN пер­пен­ди­ку­ляр­на PQ, пря­мые NH и PQ пер­пен­ди­ку­ляр­ны по по­стро­е­нию, сле­до­ва­тель­но, плос­кость MNH пер­пен­ди­ку­ляр­на PQ, от­сю­да плос­кость  MNH  — плос­кость  α. Сле­до­ва­тель­но, плос­кость  α со­дер­жит точку N, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть P₁  — точка, ле­жа­щая на ребре A₁B₁, A₁P₁ : P₁B₁  =  1 : 3. Пря­мая  NH пе­ре­се­ка­ет пря­мую  P₁Q в точке  S. Плос­кость  α пе­ре­се­ка­ет пря­мую  A₁C₁ в точке  R, тогда пря­мые RS и A₁B₁ па­рал­лель­ны. Пусть AB  =  2x, BC  =  7x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Тогда QN  =  AA₁, так как AB  =  2x, имеем:

От­сю­да сле­до­ва­тель­но, PH  =  3x. Вы­ра­зим длину HQ:

Вы­ра­зим от­но­ше­ние PH к HQ:

Вы­ра­зим от­но­ше­ние P₁S к SQ:

тогда

Ответ: 1 : 2.