РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 642726 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Разные города;

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы понижения степени

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

a)  Решите уравнение $синус x косинус 2 x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x плюс синус x = 0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение, используя формулу понижения степени:

$синус x косинус 2 x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x плюс синус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x= 0 равносильно 2 синус x косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи kx= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус x косинус 2 x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x плюс синус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x= 0 равносильно 2 синус x косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи kx= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус x косинус 2 x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x плюс синус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x= 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x=0 равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи kx= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус x косинус 2 x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x плюс синус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x= 0 равносильно$
$равносильно 2 синус x косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка 2 синус x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи kx= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 3 Пи правая квадратная скобка$ с помощью тригонометрической окружности. Получаем числа: $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

642726

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источники:

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Разные города;

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы понижения степени

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	642726	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$