PDF-версии: 
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы углов BAD и BCD пересекаются в точке O. Точки M и N отмечены на боковых сторонах AB и CD соответственно. Известно, что 
и 
а) Докажите, что точки M, N и O лежат на одной прямой.
6) Найдите 
если известно, что 
и 
Решение. а) AO — биссектриса
поэтому 
и 
следовательно, треугольник AMO равнобедренный, а значит, 
Тогда 
откуда следует, что отрезок MO параллелен стороне AD, поскольку накрест лежащие углы при секущей AO равны. Аналогично отрезок NO параллелен стороне BC. Следовательно, поскольку стороны BC и AD параллельны, точки М и N лежат на прямой, параллельной основаниям и проходящей через точку O. Что и требовалось доказать.
б) Пусть 
тогда 
и 
По сумме углов четырёхугольника ABCO:
откуда
то есть 
Треугольник AOC равнобедренный, поэтому
значит,
Проведём высоту CH, пусть она пересекается с отрезком MN в точке L. По теореме о пропорциональных отрезках, поскольку отрезок MN параллелен стороне AD, то 
В треугольнике CAH: 
и 
следовательно,
Проведём перпендикуляр OK к AD. Треугольники AOK и COL равны по гипотенузе (AO = CO по условию) и острому углу 
значит, 
Четырёхугольник OLHK — параллелограмм (прямоугольник), поскольку отрезки OL и AD параллельны, отрезок OK перпендикулярен стороне AD и отрезок LH перпендикулярен стороне AD. Следовательно, 
Поэтому
В треугольнике ACH: 
значит, 
Трапеция равнобедренная, поэтому
откуда 
Тогда по теореме Пифагора в треугольнике CHD:
откуда 
Значит, 
— это половина угла в египетском треугольнике напротив большего катета. Проведём в таком треугольнике биссектрису и воспользуемся её свойством:
Тогда 
при этом 
следовательно,
Таким образом,
Ответ: б) 1 : 2.
Приведем решение пункта б) Марины Ивановой (Миасс).
Пусть 
В равнобедренном треугольнике AMO положим 
тогда 
Далее, пусть 
По свойству равнобедренной трапеции 
то есть 
тогда в равнобедренном треугольнике CNO имеем:
Приравнивая длины отрезков AO и CO, получаем, что 
то есть 
Через точку C проведем высоту CH, а через точку O — высоту EP, где точка E лежит на BC. Тогда
значит, 
В прямоугольном треугольнике AOP находим, что 
Тогда треугольники AOP и COE равны по гипотенузе и острому углу. Откуда 
и
В треугольнике CHD:
Пусть 
получаем уравнение:
Решение 
не подходит, поскольку угол α острый. Следовательно, 
а потому искомое отношение равно 1 : 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |