Тип 19 № 642163 
Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках
i
На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Решение. а) Например, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2045 (выписано 1023 нечётных числа от 1 до 2045 и число 2). Сумма 1 и любого нечётного числа делится на 2, сумма 1 и 2 делится на 3, сумма любых двух чисел, отличных от 1, делится на 1. Есть и другие примеры.
б) Например, подходят числа 1, 2, 3, 5, 2045.
в) Пример для четырёх чисел: 1, 2, 3, 2045. Покажем, что трёх чисел быть не может. Действительно, пусть три различных числа таковы, что 
Тогда:
откуда в силу делимости суммы двух меньших чисел на большее получаем: 
Следовательно,
откуда в силу делимости а + с на b получаем, что 
Тогда b = 2a и c = 3a, а искомая тройка чисел имеет вид a, 2a, 3a. По условию одно из этих чисел равно 2045. Поскольку число 2045 не делится ни на 2, ни на 3, им может быть только число a. Но в этом случае 
Противоречие.
Ответ: а) да, например: 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2045; б) может, например: 1, 2, 3, 5, 2045; в) 4, например, 1, 2, 3, 2045.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да, например: 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2045; б) может, например: 1, 2, 3, 5, 2045; в) 4, например, 1, 2, 3, 2045.
642163
а) да, например: 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2045; б) может, например: 1, 2, 3, 5, 2045; в) 4, например, 1, 2, 3, 2045.
PDF-версии: