PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка К лежит на ребре SC и делит его в отношении 1 : 3, считая от вершины. Точка M — середина AS. Через МK проведено сечение, параллельное прямой DC.
а) Докажите, что сечение является равнобедренной трапецией.
б) Найдите угол между прямыми MK и DC, если 
Решение. а) Через точки K и M проведем соответственно прямые KL и MN, параллельные прямой CD. Эти прямые лежат в плоскости сечения, а кроме того, прямая KL лежит в плоскости SCD, а прямая MN — в плоскости SAB (поскольку прямые AB и CD параллельны). Пусть точки L и N лежат на ребрах SD и SB соответственно. Тогда сечением пирамиды будет являться трапеция KLMN с основаниями KL и MN, параллельными прямой CD.
Прямые MN и AB параллельны, поэтому по теореме Фалеса 
Прямые KL и CD тоже параллельны, откуда
Плоские углы при вершине пирамиды равны, а потому треугольники SLM и SKN равны. Следовательно, LM = KN, и трапеция KLMN равнобедренная.
б) Прямые CD, AB и MN параллельны, поэтому искомый угол равен углу KMN. Боковые грани пирамиды являются равносторонними треугольниками, из п. а) известно, что
Запишем теорему косинусов для треугольника SKN:
Треугольники ABC и SAC равны по трем сторонам, следовательно, угол ASC прямой. Таким образом,
Из теоремы косинусов для треугольника KMN получаем:
откуда
тогда 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |