PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение. Исходное уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда уравнение
имеет ровно два различных положительных корня.
При 
левая часть уравнения не определена, а при 
уравнение принимает вид 
При 
левая часть полученного уравнения отрицательна, а правая неотрицательна, поэтому полученное уравнение не имеет корней, меньших 3.
При 
и 
получаем:
Дискриминант полученного квадратного уравнения равен
Значит, уравнение имеет ровно два корня при 
При каждом из значений 
графиком функции 
является парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке 
Пусть t0 — меньший корень уравнения 
Поскольку 
и 
неравенства 
и 
выполняются тогда и только тогда, когда 
и 
Получаем: 
и 
следовательно, 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при
Ответ: 
| Содержание критерия | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = 3,25 | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением двух точек a = 3 и a = 3,25 ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
Задача сведена к исследованию корней уравнения  при условиях и для всех значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |