PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Преобразуем систему, выделив полные квадраты:
В системе координат xOy графиком уравнения системы является объединение двух перпендикулярных прямых 
и 
Графиком неравенства системы является круг с центром в точке 
и радиусом 
при 
вырождающийся в точку 
Прямые и 
не проходят через точку 
значит, система может иметь ровно одно решение только в случае, если одна из прямых является касательной к окружности
а вторая прямая не имеет с этой окружностью общих точек.
При любом значении параметра a центр окружности лежит на прямой 
Прямые 
и параллельны и расстояние между ними равно 
значит, прямая касается окружности, если 
Прямые и 
перпендикулярны и пересекаются в точке (0; −1), а потому прямая 
касается окружности в точке (0; −1).
Окружность проходит через точку (0; −1) при
При 
окружность не имеет общих точек с прямой 
а при 
или 
прямая пересекает окружность.
Заметим, что
Поэтому при 
прямая касается окружности, а прямая не имеет с окружностью общих точек, и условие задачи выполнено. При 
прямая касается окружности, а прямая пересекает окружность, и условие задачи не выполняется.
Радиус окружности равен 
при
Заметим, что 
значит, при 
прямая касается окружности, а прямая пересекает окружность, и условие задачи не выполняется.. При 
прямая касается окружности, а прямая не имеет с окружностью общих точек, и условие задачи выполнено.
Таким образом, система имеет единственное решение при и при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |