PDF-версии: 
В тетраэдре ABCD противоположные ребра попарно равны. Точки M, N и K середины боковых ребер BD, AC и DC соответственно. Через точку K проведена секущая
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости α, если 
и 
Решение. а) Грани ABD и CBD равны по трем сторонам, следовательно, равны их медианы AM и CM, проведенные к общей стороне BD. Значит, треугольник ACM равнобедренный, поэтому его медиана MN также является высотой, а значит, отрезок MN перпендикулярен стороне AC. Аналогично, рассматривая грани BAC и DAC с общим ребром AС, доказывается, что отрезок MN перпендикулярен ребру BD.
Пусть плоскость α пересекает ребра AD, AB и BC в точках L, P и Q, соответственно (см. рис.). По условию секущая плоскость параллельна ребрам AC и BD, а потому прямые KQ и DB, а также PQ и AC попарно параллельны. Тогда из перпендикулярности прямой MN прямым AC и BD следует перпендикулярность прямой MN прямым KQ и PQ. Таким образом, прямая MN перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости α, а потому перпендикулярна и всей плоскости α.
б) Из рассуждений п. а) следует, что стороны сечения являются средними линиями тех граней, в которых они лежат. Это означает, что сечение разбивает тетраэдр на две равные фигуры, и потому делит отрезок MN пополам. Тогда расстояние от точки M до
Запишем теорему косинусов для треугольника ACD:
Тогда
По теореме косинусов вычислим отрезок DN из треугольника AВТ. Находим:
Из прямоугольного треугольника DMN найдем
следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |