РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 640913 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 19.04.2023. Досрочная волна, резервный день. Вариант 201;

Задания 15 ЕГЭ–2023;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 442.

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Финансовая математика. Задачи на оптимальный выбор

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t² тыс. рублей в конце года t  (t  =  1; 2; ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 25%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Решение. Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года k, то в конце двадцатого года на его счёте будет $a_k=k в квадрате умножить на 1,25 в степени левая круглая скобка 20 минус k правая круглая скобка$ тыс. рублей. Сравним числа a_k и $a_k плюс 1:$

$a_k плюс 1 минус a_k = левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате умножить на 1,25 в степени левая круглая скобка 20 минус k минус 1 правая круглая скобка минус k в квадрате умножить на 1,25 в степени левая круглая скобка 20 минус k правая круглая скобка = 1,25 в степени левая круглая скобка 20 минус k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 0,25 k в квадрате плюс 2 k плюс 1 правая круглая скобка .$ $a_k плюс 1 минус a_k = левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате умножить на 1,25 в степени левая круглая скобка 20 минус k минус 1 правая круглая скобка минус k в квадрате умножить на 1,25 в степени левая круглая скобка 20 минус k правая круглая скобка =$
$= 1,25 в степени левая круглая скобка 20 минус k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 0,25 k в квадрате плюс 2 k плюс 1 правая круглая скобка .$

Уравнение $минус 0,25 k в квадрате плюс 2 k плюс 1=0$ имеет корни $k=4 минус корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента$ или $k=4 плюс корень из: начало аргумента: 20 конец аргумента .$ Таким образом, $a_k плюс 1 больше a_k$ при $k меньше или равно 8,$ $a_k плюс 1 меньше a_k$ при $k больше или равно 9.$ Значит,

$a_9 больше a_8 больше \ldots больше a_1,$ $a_9 больше a_10 больше \ldots больше a_20,$

поэтому наибольший член последовательности (a_k)  — это a₉, то есть ценные бумаги надо продавать в конце девятого года.

Ответ: 9.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2