РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 640576 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 427

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа, Рациональные неравенства, Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Степени, Метод интервалов

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство: $дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус 27 в степени левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: 6 минус x конец дроби больше или равно 0.$

Решение. Преобразуем уменьшаемое числителя:

$5 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка 3 правая круглая скобка = 5 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 5 3 правая круглая скобка = левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 5 3 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству

$дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 27 в степени левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: 6 минус x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 6 минус x конец дроби больше или равно 0.$

Заметим, что $y=3 в степени x$   — возрастающая функция, значит, знак разности $3 в степени a минус 3 в степени b$ совпадет со знаком разности $a минус b.$ Получаем:

$дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 6 минус x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: 6 минус x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2x в квадрате минус 3x минус 27, знаменатель: 6 минус x конец дроби больше или равно 0.$ $дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка 3 левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 6 минус x конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка минус 3 левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: 6 минус x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2x в квадрате минус 3x минус 27, знаменатель: 6 минус x конец дроби больше или равно 0.$

Воспользуемся методом интервалов. Для этого найдём корни числителя:

$2x в квадрате минус 3x минус 27=0 равносильно x= дробь: числитель: 3 \pm корень из: начало аргумента: 9 минус 4 умножить на 2 умножить на левая круглая скобка минус 27 правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 2 умножить на 2 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 3 \pm 15 , знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений x= минус 3,x= дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$ $2x в квадрате минус 3x минус 27=0 равносильно x= дробь: числитель: 3 \pm корень из: начало аргумента: 9 минус 4 умножить на 2 умножить на левая круглая скобка минус 27 правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 2 умножить на 2 конец дроби равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 3 \pm 15 , знаменатель: 4 конец дроби равносильно совокупность выражений x= минус 3,x= дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Тогда

$дробь: числитель: 2x в квадрате минус 3x минус 27, знаменатель: 6 минус x конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 6 минус x конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений x меньше или равно минус 3, дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше 6. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби ; 6 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

640576

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби ; 6 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 427

Классификатор алгебры: Неравенства смешанного типа, Рациональные неравенства, Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Степени, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	640576	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби ; 6 правая круглая скобка .$