РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит равнобедренная трапеция ABCD, в которой $A B = B C = C D,$ а основание AD вдвое больше основания BC. Точки P, T, M  — середины ребер SB, BC, AB соответственно. Известно, что ребро SA перпендикулярно плоскости основания, SA  =  AB.

а)  Докажите, что прямые PT и CD взаимно перпендикулярны.

б)  Найдите объем пирамиды DMPT, если AB  =  4.

Решение. а)  Пусть E  — точка пересечения продолжений отрезков AB и DC. Тогда BC  — средняя линия треугольника AED, в котором AE  =  ED  =  AD. Отрезок AC  — медиана правильного треугольника AED, значит, AC является и высотой этого треугольника. Прямая SA  — перпендикуляр к плоскости AED, SС  — наклонная, AC  — проекция наклонной на плоскость AED. По теореме о трёх перпендикулярах прямая SC перпендикулярна прямой CD. Отрезок PT  — средняя линия треугольника BSC, следовательно, прямые PT и SC параллельны. Таким образом, прямая PT перпендикулярна прямой CD.

б)  Пусть H  — точка пересечения прямых TM и DE. Отрезок TM  — средняя линия треугольника ABC, следовательно, прямые MT и AC параллельны, тогда прямые DE и TM взаимно перпендикулярны. Кроме того, прямая DH перпендикулярна прямой PT (по п. а), и потому прямая DH перпендикулярна плоскости PTM, то есть является высотой пирамиды DPTM.

Треугольник BTM равнобедренный. Тогда

$\angle HCM = \angle CDA = 60 градусов ,$

$\angle HMC = \angle BMT = \angle BTM = 90 градусов минус \angle HCM = 30 градусов .$

Далее находим:

$HC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби TC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби BC = 1,$ $DH = 5,$

$PM = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SA = 2,$ $TM = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Для площади треугольника PTM получаем:

$S_PTM = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби TM умножить на PM = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Тогда объем пирамиды DMPT равен

$V_DPTM = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на S_PTM умножить на DH = дробь: числитель: 10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: 10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

№ п/п	№ задания	Ответ
1	640575	б) $дробь: числитель: 10 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ключ