РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 639950 Добавить в вариант

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Москва, 06.04.2023. Вариант 1

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Уравнения смешанного типа, Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрия и иррациональности

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 косинус в квадрате x минус 4 косинус x плюс 3 конец аргумента = корень из: начало аргумента: косинус x плюс 6 конец аргумента .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; \; 5 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Последовательно получаем:

$корень из: начало аргумента: 2 косинус в квадрате x минус 4 косинус x плюс 3 конец аргумента = корень из: начало аргумента: косинус x плюс 6 конец аргумента равносильно$
$равносильно система выражений косинус x плюс 6 больше или равно 0,2 косинус в квадрате x минус 4 косинус x плюс 3 = косинус x плюс 6 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x больше или равно минус 6,2 косинус в квадрате x минус 5 косинус x минус 3 = 0 конец системы . \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно 2 косинус в квадрате x минус 5 косинус x минус 3 = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 3, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 2 косинус в квадрате x минус 4 косинус x плюс 3 конец аргумента = корень из: начало аргумента: косинус x плюс 6 конец аргумента равносильно$
$равносильно система выражений косинус x плюс 6 больше или равно 0,2 косинус в квадрате x минус 4 косинус x плюс 3 = косинус x плюс 6 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x больше или равно минус 6,2 косинус в квадрате x минус 5 косинус x минус 3 = 0 конец системы . \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно 2 косинус в квадрате x минус 5 косинус x минус 3 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 3, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $корень из: начало аргумента: 2 косинус в квадрате x минус 4 косинус x плюс 3 конец аргумента = корень из: начало аргумента: косинус x плюс 6 конец аргумента равносильно$
$равносильно система выражений косинус x плюс 6 больше или равно 0,2 косинус в квадрате x минус 4 косинус x плюс 3 = косинус x плюс 6 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус x больше или равно минус 6,2 косинус в квадрате x минус 5 косинус x минус 3 = 0 конец системы . \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно 2 косинус в квадрате x минус 5 косинус x минус 3 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 3, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 5 Пи правая квадратная скобка ,$ при помощи тригонометрической окружности. Подходит число $дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

639950

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Москва, 06.04.2023. Вариант 1

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Уравнения смешанного типа, Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	639950	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$