РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 639751 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Урал;

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Показательные уравнения, Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Введение замены, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

a)  Решите уравнение $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6 синус в квадрате x правая круглая скобка =x$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем исходное уравнение:

$логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6 синус в квадрате x правая круглая скобка =x равносильно 4 в степени x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6 синус в квадрате x=4 в степени x равносильно$
$равносильно минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно 6 косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6=0.$ $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6 синус в квадрате x правая круглая скобка =x равносильно$
$равносильно 4 в степени x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6 синус в квадрате x=4 в степени x равносильно$
$равносильно минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно 6 косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6=0.$ $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6 синус в квадрате x правая круглая скобка =x равносильно$
$равносильно 4 в степени x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6 синус в квадрате x=4 в степени x равносильно$
$равносильно минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 6 косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 6=0.$

Пусть $косинус x =t,$ тогда

$6t в квадрате минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента t минус 6 = 0 равносильно совокупность выражений t = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , t = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений косинус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно косинус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k ,x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 4 Пи правая квадратная скобка ,$ при помощи тригонометрической окружности. Подходят: $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

639751

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источники:

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Урал;

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Методы алгебры: Введение замены, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	639751	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$