РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 639648 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Москва;

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Уравнения смешанного типа, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка =4.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем исходное уравнение:

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка =4 равносильно синус x плюс синус 2 x плюс 81 = 81 равносильно синус x плюс 2 синус x косинус x = 0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений синус x = 0, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка =4 равносильно синус x плюс синус 2 x плюс 81 = 81 равносильно$
$равносильно синус x плюс 2 синус x косинус x = 0 равносильно синус x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = 0, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс синус 2 x плюс 81 правая круглая скобка =4 равносильно$
$равносильно синус x плюс синус 2 x плюс 81 = 81 равносильно$
$равносильно синус x плюс 2 синус x косинус x = 0 равносильно синус x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = 0, косинус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x= минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k , конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка$ при помощи тригонометрической окружности. Подходят: –3π, –2π, $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k; \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) –3π, –2π, $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

639648

а) $левая фигурная скобка Пи k; \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) –3π, –2π, $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источники:

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Москва;

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Методы алгебры: Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	639648	а) $левая фигурная скобка Пи k; \pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) –3π, –2π, $минус дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$