PDF-версии: 
Диаметр основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость α пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Пусть М и N — середины этих хорд, P — точка пересечения прямой MN с осью цилиндра.
а) Докажите, что расстояния от точки Р до плоскостей основания цилиндра относятся как 5 : 12.
б) Найдите тангенс угла между плоскостью α и плоскостью основания цилиндра.
Решение. а) Пусть точка M — середина хорды KL длиной 10, принадлежащей нижнему основанию, центр которого — точка O. Пусть точка N — середина хорды QR верхнего основания с центром O1. Обозначим диаметр буквой D, по условию D = 26. Рассмотрим равнобедренный треугольник OKL, в котором OM — медиана, биссектриса и высота. Находим:
Аналогично NO1 = 5.
Рассмотрим плоскость OMP, в ней отрезки MO и ON1 параллельны, следовательно, треугольники PMO и PNO1 подобны. Таким образом,
б) Прямой, по которой плоскость α пересекает плоскость основания с центром O, является прямая KL. Отрезки MO и KL перпендикулярны, поэтому по теореме о трех перпендикулярах отрезок PM перпендикулярен отрезку KL. Таким образом, угол PMO — линейный угол искомого угла. Заметим, что высота прямого цилиндра равна его образующей, значит,
то есть
следовательно, 
Ответ: б) 
Примечание.
В учебнике А. В. Погорелова, в отличие от учебников Л. С. Атанасяна и Е. В. Потоскуева — Л. И. Звавича осью цилиндра называется не отрезок, соединяющий центры его оснований, а прямая, проходящая через эти центры. В этом случае точка P может располагаться вне цилиндра, и тогда ответ в пункте б) другой: 
Предоставляем читателю возможность самостоятельно решить задачу для этого случая.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |