Ре­ше­ние. Пусть в отеле будет х но­ме­ров пло­ща­дью 21 кв. м и у но­ме­ров пло­ща­дью 49 кв. м. Тогда или При­быль, ко­то­рую будут при­но­сить эти но­ме­ра, равна или При­быль будет наи­боль­шей при наи­боль­шем зна­че­нии суммы Пусть тогда от­ку­да, под­став­ляя в (*), по­лу­ча­ем:

В слу­чае точ­но­го ра­вен­ства наи­боль­ше­му зна­че­нию суммы s со­от­вет­ство­ва­ло бы наи­мень­шее зна­че­ние ве­ли­чи­ны у. В слу­чае стро­го­го не­ра­вен­ства не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние y и про­ве­рить боль­шие зна­че­ния, умень­ша­ю­щие ко­ли­че­ство пу­сто­го про­стран­ства.

Наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние у равно 0. По­сколь­ку в го­сти­ни­це можно от­крыть 52 стан­дарт­ных но­ме­ра и не от­кры­вать но­ме­ра люкс. В этом слу­чае но­ме­ра будут при­но­сить пред­при­ни­ма­те­лю доход  руб. в сутки, и при этом оста­нет­ся 7 кв. м не­за­ня­то­го про­стран­ства. Умень­ше­ние ко­ли­че­ства стан­дарт­ных но­ме­ров на 1 не поз­во­лит раз­ме­стить люкс и умень­шит при­быль. Умень­шим на 2 ко­ли­че­ство стан­дарт­ных но­ме­ров. Если в го­сти­ни­це 50 стан­дарт­ных но­ме­ров и 1 люкс, не­за­ня­то­го про­стран­ства не оста­ет­ся: В этом слу­чае доход будет равен  руб. Даль­ней­шее умень­ше­ние ко­ли­че­ства стан­дарт­ных но­ме­ров в поль­зу люк­сов при­ве­дет к умень­ше­нию при­бы­ли.

Ответ: 104 500 руб.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Най­дем до­ход­ность на еди­ни­цу за­ни­ма­е­мой пло­ща­ди. Для но­ме­ра «люкс» она со­став­ля­ет  руб./кв. м. Для обыч­но­го но­ме­ра до­ход­ность равна  руб./кв. м. Таким об­ра­зом, обыч­ный номер при­но­сит боль­ший доход с квад­рат­но­го метра пло­ща­ди, по­это­му раз­ме­щать обыч­ные но­ме­ра вы­год­нее, чем но­ме­ра «люкс».

На пло­ща­ди 1099 кв. м можно раз­ме­стить 52 обыч­ных но­ме­ра, при этом доход со­ста­вит 52 · 2000  =  104 000 руб., и оста­нет­ся 7 кв. м сво­бод­ной пло­ща­ди.

Будем умень­шать ко­ли­че­ство оста­ю­щей­ся сво­бод­ной пло­ща­ди, раз­ме­щая но­ме­ра «люкс» и умень­шая ко­ли­че­ство обыч­ных но­ме­ров. Для од­но­го но­ме­ра «люкс» и 50 обыч­ных за­ни­ма­е­мая пло­щадь 1099 кв. м., доход 104 500 руб. Для двух но­ме­ров «люкс» и 47 обыч­ных за­ни­ма­е­мая пло­щадь 1085 кв. м, доход 103 000 руб. Раз­ме­щать три и более но­ме­ра «люкс» нет смыс­ла, по­сколь­ку на той пло­ща­ди (147 кв. м), где могут раз­ме­стить­ся три но­ме­ра «люкс», при­но­ся­щие доход 3 · 4500  =  13500 руб., можно раз­ме­стить семь обыч­ных но­ме­ров с до­хо­дом 7 · 2000  =  14 000 руб.

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ный доход будет по­лу­чен при раз­ме­ще­нии 50 обыч­ных но­ме­ров и 1 но­ме­ра «люкс», ко­то­рые зай­мут всю до­ступ­ную пло­щадь 1099 кв. м. Этот мак­си­маль­ный доход со­став­ля­ет 104 500 руб. в сутки.