Ре­ше­ние. а)  Пусть F  — точка ка­са­ния ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра и сто­ро­ны CD квад­ра­та, O и O'  — цен­тры верх­не­го и ниж­не­го ос­но­ва­ний со­от­вет­ствен­но. Точки A' и B'  — про­ек­ции точек A и B  — лежат на окруж­но­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния. Таким об­ра­зом, от­рез­ки AA' и BB' яв­ля­ют­ся об­ра­зу­ю­щи­ми ци­лин­дра.

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая B'C, яв­ля­ю­ща­я­ся про­ек­ци­ей пря­мой BC на плос­кость ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CD, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся плос­кость квад­ра­та ABCD и плос­кость ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра. Сле­до­ва­тель­но, угол BCB' яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла между плос­ко­стью квад­ра­та ABCD и плос­ко­стью ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра.

За­ме­тим, что   — пря­мо­уголь­ник. При этом где R  — ра­ди­ус ци­лин­дра, Таким об­ра­зом, в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCB' угол CBB' равен 30°, и, сле­до­ва­тель­но, угол BCB' равен 60°.

б)  Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ка BD с по­верх­но­стью ци­лин­дра. Тогда K'  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ка B'D с окруж­но­стью ниж­не­го ос­но­ва­ния  — яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей точки K на ниж­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра. От­ре­зок A'K' пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой B'D, от­ку­да сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки A'K'D и A'B'D по­доб­ны. На­хо­дим:

Зна­чит, от­ку­да

Тре­уголь­ни­ки DKK' и DBB' по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Ответ: б)