PDF-версии: 
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF равна 6. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 45°. Через меньшую диагональ основания АС проведено сечение, которое пересекает противоположное к ней ребро пирамиды SE на расстоянии 
от вершины пирамиды S.
а) Докажите, что это сечение перпендикулярно боковому ребру SE.
б) Найдите площадь сечения.
Решение. а) Так как боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45°, то 
следовательно, 
а треугольник BSE — равнобедренный и прямоугольный. Пусть P — точка пересечения диагоналей BE и AC,
Заметим, что:
Так как SE = SB, то:
следовательно, 
Значит,
Таким образом, по теореме Фалеса отрезок PT параллелен ребру SB и, следовательно, отрезок PT перпендикулярен ребру SE. Кроме того, прямая AC перпендикулярна прямой BE, и прямая AC перпендикулярна прямой SO, то есть прямая AC перпендикулярна плоскости SBE. Тогда, прямая AC перпендикулярна ребру SE. Это означает, что плоскость сечения ACT перпендикулярна ребру SE.
б) Пусть прямая PT пересекает грань SDF пирамиды в точке R. Через точку R проведем прямую, параллельную прямым AC и DF, которая будет являться общей прямой плоскостей SDF и ACT. Обозначим точки пересечения этой прямой с ребрами SF и SD — M и N, соответственно. Тогда сечением пирамиды данной плоскостью является пятиугольник AMTNC. Отрезок MN разбивает его на равнобедренную трапецию AMNC с высотой PR и равнобедренный треугольник MTN c высотой TR. Пусть K — точка пересечения прямой PT с высотой пирамиды SO, а Q — точка пересечения отрезков BE и DF. Точка P — середина отрезка OB, а точка Q — середина отрезка OE, следовательно, точка K — середина SO.
Таким образом, отрезок KQ — средняя линия треугольника SOE, следовательно, отрезки KQ и SE параллельны и 
Заметим, что треугольники STR и KQR подобны, причем
откуда
Треугольники SMN и SDF также подобны. Тогда:
откуда 
Найдем площадь пятиугольника AMTNC:
то есть
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |