PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S каждое ребро равно 
Через середины сторон AD и DC и середину высоты пирамиды проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру SD.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α.
Решение. а) Пусть точки M и N — середины сторон AD и DC соответственно, точка O — центр основания, точка T — середина высоты пирамиды SO. Отрезок MN — средняя линия равнобедренного прямоугольного треугольника ACD — пересекает его высоту, биссектрису и медиану DO в ее середине — точке E. Заметим, что отрезок MN лежит в плоскости α, следовательно, точка E и вместе с ней отрезок ET также лежит в плоскости α. Очевидно, что отрезок ET — средняя линия треугольника SOD, следовательно, прямые ET и SD параллельны, значит, плоскость α параллельна ребру SD.
б) Плоскость α пересекает основание ABCD по прямой MN, параллельной диагонали AC, поэтому плоскость α пересекает плоскость SAC по прямой, параллельной диагонали AC и проходящей через точку T, то есть по средней линии треугольника SAD.
Пусть точки R и P — середины ребер SA и SD соответственно, тогда RP — указанная выше прямая пересечения. Прямая ET лежит в плоскости SBD, пусть Q — точка ее пересечения с SB. Таким образом, сечением пирамиды плоскостью α является пятиугольник MNPQR.
Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах отрезки TE и MN перпендикулярны, поскольку отрезок OD перпендикулярен диагонали AC, следовательно, четырехугольник MNPR — прямоугольник, а отрезок QT — высота треугольника PQR. Нетрудно заметить, что треугольники ABD, SAC и SBD — равные (по трем сторонам) прямоугольные равнобедренные треугольники. Кроме того, треугольники SBD, SOD, OET и STQ подобны, а значит, все прямоугольные равнобедренные.
Зная, что 
получаем:
Таким образом,
откуда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |