РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске разрешается в одну строку так написать $n больше или равно 3$ различных натуральных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n,$ чтобы для любого $k=1, 2, \ldots, левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка$ число $a_k плюс 2$ равнялось либо сумме, либо разности, либо произведению, либо частному взятых в некотором порядке чисел $a_k плюс 1$ и a_k. Например, этим правилам удовлетворяют 4 числа 3, 12, 4, 8, а также 5 чисел 8, 2, 4, 6, 24, написанные в указанном порядке.

а)  Можно ли по этим правилам так написать n  =  5 чисел, чтобы среди них в некотором порядке встретились четыре числа 1, 2, 3 и 4?

б)  Можно ли по этим правилам так написать n  =  4 нечетных числа, чтобы среди них в некотором порядке встретились три числа 3, 5 и 7?

в)  Какое наименьшее значение может принимать n, если на доске в некотором порядке встречаются числа 1, 2 и 8?

Решение. а)  Например, для записи 2, 3, 1, 4, 5 получаем: $1=3 минус 2,$ $4=3 плюс 1$ и $5=4 плюс 1..$

б)  Сумма и разность нечетных чисел четны, значит, разрешены только умножение и деление. Ни одно из данных чисел не делится на другое. Поэтому они не могут занимать места 1, 2, 3 или 2, 3, 4, так как ни одно из них не является произведением или частным двух других.

Если они занимают места 1, 2, 4, то на третьем месте записано произведение первых двух чисел. Оно больше последнего, значит, последнее не получается умножением. Но деление третьего на второе снова даст первое.

Если же они занимают места 1, 3, 4, то третье число является частным второго и первого, а тогда второе число  — произведение первого и третьего. В этом случае четвертое не может быть ни произведением второго на третье, так как оно не кратно третьему, ни частным от деления, поскольку оно равно первому.

в)  Например, для записи 1, 2, 3, 5, 8 получаем: $3=2 плюс 1,$ $5=2 плюс 3$ и $8=3 плюс 5.$ Заметим предварительно, что если три числа связаны соотношением $a?b=c,$ где ?  — одно из арифметических действий, то можно написать и соотношения $a?c=b$ и $b?c=a$ с другим действием (возможно придется поменять местами числа в левой части. (Например, для $2 умножить на 3=6$ получаем $6:3=2. правая круглая скобка$

Ни одно из чисел не может быть результатом действия с двумя другими, поэтому трех чисел точно не хватит. Допустим, можно обойтись четырьмя числами. Они не могут занимать места 1, 2, 3 или 2, 3, 4. Если они занимают места 1, 2, 4 или 1, 3, 4, то есть две тройки чисел, включающих неизвестное нам число. Значит, оно должно быть результатом арифметического действия с двумя парами чисел из набора 1, 2, 8. Но $1?2=1, 2, 3,$ $1?8=7, 8, 9,$ $8?2=4, 6, 10, 16$   — ни один ответ не повторился. Поэтому четыре числа тоже не подобрать.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  5.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	636748	а)  да; б)  нет; в)  5.

Ключ