PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Решим первое уравнение системы. Пусть 
где 
тогда
Правая часть полученного уравнения не принимает положительных значений. Покажем, что при 
левая часть не принимает отрицательных значений, а потому на множестве корней уравнения обе части равны нулю. Рассмотрим на отрезке 
функцию
Эта функция достигает на отрезке [0; 1] своего наименьшего значения в единственной в точке 
при этом 
(см. эскиз графика функции). Тогда в уравнении (⁎) левая часть неотрицательна, а правая неположительна, значит, оно равносильно системе
Таким образом, первое уравнение исходной системы равносильно системам:
Рассмотрим второе уравнение исходной системы. Пусть 
тогда
Отсюда
а потому 
Из решения первого уравнения исходной системы 
получаем, что только нечетные значения x могут быть решениями системы. Значит, x может принимать только два значения: или x = 1, или x = −1.
Если x = 1, то второе уравнение исходной системы имеет единственное решение (1; a). Подставляя эти значения в решение первого уравнения, получаем:
Если x = −1, то второе уравнение исходной системы имеет единственное решение (−1; a). Подставляя эти значения в решение первого уравнения, получаем:
Таким образом, уравнение имеет решения при 
где 
Ответ: 
где
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
где где