Тип 19 № 635760 
Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
i
В резиденции Деда Мороза работает не менее 60 и не более 80 гномиков. Дед Мороз проводит собрание. К началу собрания пришло меньше половины гномиков (а возможно, что и никто не пришел). Спустя 10 минут после объявленного начала на собрание пришел еще один гномик.
а) Могло ли получиться так, что после этого на собрании присутствовало больше половины гномиков?
б) Возможно ли, что и до и после прихода опоздавшего гномика процент гномиков на собрании выражался целым числом?
в) Какое наибольшее целое значение мог принять процент так и не пришедших на собрание гномиков?
Решение. а) Да. Если, например, всего работают 75 гномиков и из них пришли без опоздания 37, то условие будет выполнено, поскольку 
б) Нет. Пусть всего гномиков x, а на собрании изначально присутствовало y. Тогда 
и 
— целые числа, значит, и их разность 
— целое число. Но у 100 нет делителей в промежутке от 60 до 80.
в) Очевидно, этот процент будет наибольшим целым, когда процент пришедших гномиков будет наименьшим целым. Если, например, пришли 3 гномика из 75 (сначала 2, а потом еще 1), то процент пришедших составляет 
а непришедших, соответственно, 96.
Разберем остальные случаи. Очевидно,
поэтому один процент гномиков явиться не мог.
Если 
то 
однако среди чисел от 60 до 80 нет делящихся на 50.
Если 
то 
откуда 
делится на 100. Тогда и x делится на 100, однако среди чисел от 60 до 80 нет делящихся на 100.
Значит, меньшие варианты процента явившихся невозможны.
Ответ: а) да; б) нет; в) 96.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет; в) 96.
635760
а) да; б) нет; в) 96.
PDF-версии: