РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В записи натурального числа n сделаем замену цифр. Если цифра $a больше 0,$ то заменяем её на цифру (10 – a), а если a  =  0, то её не меняем. Обозначим полученное число через n*.

а)  Может ли быть n  =  10n*?

б)  Какое наибольшее значение может принимать отношение $дробь: числитель: n, знаменатель: n в степени * конец дроби ?$

в)  Если n делится на $n в степени * ,$ то чему может быть равно отношение $дробь: числитель: n, знаменатель: n в степени * конец дроби ?$

Решение. а)  Числа n и n* содержат одинаковое количество цифр, поэтому не могут отличаться в 10 раз.

б)  Если в числе n есть цифра, отличная от 9 и 0, заменим ее на 9. При этом n увеличится, а n* уменьшится, значит, у указанной дроби увеличится числитель и уменьшится знаменатель, то есть дробь увеличится. Для достижения максимума нужно, чтобы число n состояло из нулей и девяток, тогда число n* состоит из нулей и единиц (на местах, соответствующих местам девяток в n), откуда $n=9n в степени *$ и $дробь: числитель: n, знаменатель: n в степени * конец дроби =9.$

в)  Сократим n и n* на максимально возможную степень десятки. После этого они не будут заканчиваться на 0, а их отношение не изменится. Кроме того по пункту б) это отношение не превосходит 9. Приведем несколько примеров.

При n  =  9 получаем $дробь: числитель: 9, знаменатель: 1 конец дроби =9.$

При n  =  8 получаем $дробь: числитель: 8, знаменатель: 2 конец дроби =4.$

При n  =  5 получаем $дробь: числитель: 5, знаменатель: 5 конец дроби =1.$

При n  =  185 получаем $дробь: числитель: 925, знаменатель: 185 конец дроби =5.$

Докажем, что других вариантов нет. Пусть $a не равно 0$   — последняя цифра n. Пусть, например, $n=2n*,$ тогда $2 левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка$ заканчивается на a, откуда $2 левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка минус a$ кратно 10, $20 минус 3a$ кратно 10, то есть 3a кратно 10, что невозможно.

Пусть $n=3n в степени * ,$ тогда $3 левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка$ заканчивается на a, откуда $3 левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка минус a$ кратно 10, то есть $30 минус 4a$ кратно 10, 4a кратно 10, что возможно только при a  =  5.

Пусть $n=6n в степени * ,$ тогда $6 левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка$ заканчивается на a, откуда $6 левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка минус a$ кратно 10, то есть $60 минус 7a$ кратно 10, то есть 7a кратно 10, что невозможно.

Пусть $n=7n в степени * ,$ тогда $7 левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка$ заканчивается на a, откуда $7 левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка минус a$ кратно 10, то есть $70 минус 8a$ кратно 10, $8a$ кратно 10, что возможно только при $a=5.$

Пусть $n=8n в степени * ,$ тогда $8 левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка$ заканчивается на a, откуда $8 левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка минус a$ кратно 10, то есть $80 минус 9a$ кратно 10, то есть 9a кратно 10, что невозможно.

Осталось разобрать случай, когда n кончается на 5 и больше чем n* в 3 или 7 раз. Сразу отметим, что если n кончается на 05, то и n* тоже и поэтому 3n*, 7n* кончаются на 15,35 соответственно.

Пусть $b не равно 0$   — предпоследняя цифра n, тогда 10 – b  — предпоследняя цифра n*, откуда $x левая круглая скобка 10 левая круглая скобка 10 минус b правая круглая скобка плюс 5 правая круглая скобка$ кончается на $10 b плюс 5 ,$ то есть

$x левая круглая скобка 10 левая круглая скобка 10 минус b правая круглая скобка плюс 5 правая круглая скобка минус 10 b минус 5$

кратно 100 (здесь $x принадлежит левая фигурная скобка 3; 5; 7 правая фигурная скобка правая круглая скобка .$ Тогда: $100x минус 10bx плюс 5x минус 10b минус 5$ кратно 100 и $минус 10bx плюс 5x минус 10b минус 5$ кратно 100.

При x  =  3 получаем $минус 40b плюс 10$ кратно 100, откуда $минус 4b плюс 1$ кратно 10. Это невозможно, $минус 4b плюс 1$ нечетно.

При x  =  7 получаем $минус 80b плюс 30$ кратно 100, откуда $минус 8b плюс 3$ кратно 10. Это невозможно, $минус 6b плюс 3$ нечетно.

Ответ: а)  нет; б)  9; в)  1, 4, 5, 9.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	635312	а)  нет; б)  9; в)  1, 4, 5, 9.

Ключ