PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
верно при всех действительных значениях x.
Решение. Используем формулу косинуса двойного угла:
Пусть 
и 
Введём функцию 
где 
Тогда нужно, чтобы неравенство
Если 
то 
значит, условие (⁎) не выполняется при всех t из отрезка Рассмотрим случай 
Функция 
— 
Найдём производную функции и стационарную точку: 
тогда
далее:
Неравенство (⁎) будет выполняться для всех t из отрезка 
в двух случаях.
1 случай. Если 
то достаточно выполнения условий
2 случай. Если 
то достаточно выполнения условий
Полученная система не имеет решений.
Таким образом, условие задачи выполнено при 
то есть если 
Вернёмся к исходному параметру:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |