PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение:
имеет единственное решение.
Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:
Поскольку 
уравнение можно записать в виде:
Заметим, что 
не является корнем данного уравнения, поэтому деление обеих частей уравнения на 
не приведет к потере корня и полученное уравнение будет равносильно исходному. Имеем:
В левой части уравнения заменим частное корней корнем из частного: при 
получаем
Чтобы выполнить аналогичное преобразование в левой части, необходимо представить корень пятой степени в виде корня десятой степени. Такое преобразование зависит от того, положительно ли выражение или отрицательно. Рассмотрим два луча, составляющие ОДЗ.
1. При 
получаем:
Это уравнение можно записать в виде 
где
Решим уравнение:
Найдём, при каких значениях параметра a найденный корень больше 1:
Заметим, что функция 
монотонно убывает при 
поэтому каждое свое значение из промежутка 
она принимает ровно один раз. Значит, при найденных значениях параметра исходное уравнение имеет ровно один корень, больший −1.
2. При 
получаем уравнение
которое можно записать в виде 
где теперь 
Решим уравнение:
Найдём, при каких значениях a найденный корень удовлетворяет условию 
:
Заметим, что функция 
монотонно убывает при 
поэтому каждое свое значение из промежутка [0; 1) она принимает ровно один раз. Значит, при найденных значениях параметра a, исходное уравнение имеет ровно один корень, не больший −2.
Объединяя результаты, полученные в рассмотренных случаях, находим, что:
— при 
уравнение имеет один корень;
— при 
уравнение имеет два корня;
— при 
уравнение имеет один корень;
— при 
уравнение имеет два корня;
— при 
уравнение имеет один корень.
Ответ: 
Примечание.
Получив на 
уравнение можно было не искать корни явно, а воспользоваться следующей идеей о расположении корней квадратного трехчлена. Положим 
заметим, что график функции f представляет собой параболу с вершиной в точке 
и точкой пересечения с осью ординат 
Из графических соображений очевидно, что такая парабола пересекает ось абсцисс в точке, лежащей правее 1, тогда и только тогда, когда 
откуда 
а значит, 
Для второго случая, рассуждая аналогично, запишем уравнение 
в виде 
и заметим, что парабола, являющаяся графиком функции g, имеет вершину в точке с абсциссой 
причем 
Из этого следует, что точка пересечения графика g с осью абсцисс лежит в полуинтервале [0; 1) в том и только том случае, когда 
откуда 
а значит, 
Таким образом, при одновременном выполнении неравенств 
и 
исходное уравнение имеет два корня, а если выполнено ровно одно из этих неравенств, уравнение имеет единственное решение. Таким образом, возможны два случая:
или
что и дает ответ.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной. | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |