PDF-версии: 
а) Уравнения 
и 
имеют корни, которые являются целыми числами. Коэффициенты уравнений являются натуральными числами (необязательно различными). Причем корни первого уравнения равны корням второго. Решите эти уравнения.
б) Найдите квадратные уравнения 
для которых коэффициенты a, b, c являются корнями.
в) Три числа a, b, c отличны от нуля. Квадратные уравнения
имеют общий корень. Решите эти уравнения.
Решение. а) Пусть x1, x2 годятся в оба уравнения. Вычтем уравнения друг из друга — тогда эти числа будут и корнями полученной разности. Получаем
Если 
то 
и 
Если же a = c, то по теореме Виета произведение корней каждого из уравнений равно 
что невозможно для двух различных целых чисел.
б) Очевидно, что среди чисел a, b и c минимум два должны совпадать. Если совпадают все три числа, то уравнение принимает вид 
и корней не имеет. Подставляя x = c, получаем 
или 
Значит, либо 
либо 
В первом случае поэтому либо 
и уравнение принимает вид 
(но a не будет его корнем), либо 
и уравнение принимает вид 
то есть 
Его корни x = 0 и 
поэтому подходит вариант 
Итак, первый ответ 
Во втором случае 
Кроме того по теореме Виета произведение корней равно 
откуда второй корень равен 
(случай c = 0 уже разобран). Получаем три варианта.
1. Если 
то 
При 
находим 
и корнями уравнения должны быть 1, c, – c – 1. Два из этих чисел совпадают, откуда 
Получаем уравнения 
не корень), 
(подходит), 
(подходит).
2. При a = −1 находим 
и корнями уравнения должны быть −1, c, c − 1. Два из этих чисел совпадают, если 
или если 
Последний случай уже был разобран, а при получаем уравнение 
b = −2 не корень.
3. Если 
то c совпадает либо с a, либо с 
При c = a находим 
и уравнение принимает вид
причем 
то есть 
Это уравнение имеет единственный корень, который можно найти по формуле Кардано. Он равен
и мы получили еще один ответ.
Наконец, при 
у уравнения совпадают корни и тогда 
что невозможно.
в) Пусть x — общий корень всех трех уравнений, тогда он будет корнем и их суммы 
откуда 
Значит, у всех этих уравнений есть корень x = 1 (при его подстановке как раз получается 
По теореме Виета вторые корни уравнений равны тогда, соответственно, 
Ответ:
а) 
б) 
при 
в) 
у всех уравнений, 
у первого; 
у второго; 
у третьего.
Примечание Решу ЕГЭ.
Мы находим пункт б) несколько странным. Условие про целочисленность коэффициентов следовало бы отнести ко всем пунктам.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
а)
б) при
в) у всех уравнений, у первого; у второго; у третьего.
а)
б) при
в) у всех уравнений, у первого; у второго; у третьего.