PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка L — середина бокового ребра SB. На ребре SA взята точка К так, что 
а) Докажите, что плоскость DKL параллельна боковому ребру SC.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью DKL, если все ребра пирамиды равны 24.
Решение. а) Пусть N — точка пересечения прямых KL и AB, а M — точка пересечения прямых DN и BC. Тогда точки М и N лежат в плоскости DKL, а четырехугольник DKLM — сечение пирамиды плоскостью DKL. Напишем для треугольника SAB и прямой KN теорему Менелая:
следовательно, 
Таким образом, треугольники BMN и CMD равны, поэтому BM = CM, точка M — середина отрезка BC, а отрезок LM — средняя линия треугольника BSC. Значит, прямые SC и LM параллельны, следовательно, прямая SC параллельна плоскости DKL.
б) В п. а) показано, что сечением является четырехугольник DKLM. Заметим, что BN = 24, AK = 16, BM = BL = ML = 12, тогда
и 
С помощью теоремы косинусов найдем NL и NK из треугольников NLB и NKA:
С помощью теоремы косинусов найдем косинус и синус угла MNL:
откуда
и 
Таким образом, для площадь сечения DKLM получаем:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |