PDF-версии: 
Первый член геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 368. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.
а) Может ли число 575 являться членом такой прогрессии?
б) Может ли число 920 являться членом такой прогрессии?
в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?
Решение. а) Поскольку 
а 
подойдет прогрессия со знаменателем 
368, 460, 575.
б) Заметим, что 
поэтому 
Это число должно быть равно степени знаменателя прогрессии. Тогда эта степень, очевидно, первая, поскольку корни любой натуральной степени из этого числа будут иррациональны и не могут быть знаменателями прогрессии. Значит, следующий член прогрессии равен 
то есть условие о трехзначности не выполняется.
в) Из п. а) известно, что число 575 может быть членом прогрессии, поэтому убывающие прогрессии можно не рассматривать. Пусть знаменатель прогрессии равен несократимой дроби 
тогда последний член прогрессии равен
Число xn должно быть целым и трехзначным, а потому 368 должно нацело делиться на 
Для этого 
иначе 368 не разделится даже на b2. Разберем случаи.
1. Если b = 1, то 
и третий член прогрессии превосходит 1000:
2. Если b = 2, то a нечетное число. При a = 3 прогрессию составляют числа 368, 552 и 828; при 
для третьего члена прогрессии получаем:
3. Если b = 4, то a нечетное число. Возможны варианты: при 
прогрессию составляют числа 368, 46 и 575; при 
получаем
Ответ: а) да; б) нет; в) 828.
Примечание.
Другое решение пункта в) мы привели в аналогичной задаче 563922, которая была предложена на ЕГЭ по математике в 2001 году.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |