РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 632834 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 398

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

А)  В арифметической прогрессии $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка$ первый член $a_1=5$ и разность прогрессии d  =  9. Какие члены прогрессии имеют четное количество делителей?

Б)  В последовательности $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка ,$ состоящей из целых чисел, известны первые два члена: $x_1=1,$ $x_2=2,$ а следующие члены последовательности находятся по формуле $x_n плюс 2=5x_n плюс 1 минус 6x_n$ для всех $n больше или равно 1.$ Какой самый большой простой делитель имеет число $x_2023?$

В)  Может ли натуральное число иметь 100 делителей, если сумма его делителей является простым числом?

Решение. а)  Все члены этой прогрессии имеют вид

$5 плюс 9 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =9n минус 4=3 левая круглая скобка 3n минус 2 правая круглая скобка плюс 2$

и потому дают остаток 2 при делении на 3. Заметим, что квадраты такого остатка давать не могут. В самом деле:

  — число $левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате =9x в квадрате$   — кратно трем;

  — число $левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =9x в квадрате плюс 6x плюс 1=3 левая круглая скобка 3x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка плюс 1$   — остаток 1;

  — число $левая круглая скобка 3x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =9x в квадрате плюс 12x плюс 4=3 левая круглая скобка 3x в квадрате плюс 4x плюс 1 правая круглая скобка плюс 1$   — остаток 1.

Значит, среди членов последовательности нет квадратов. Тогда их делители всегда можно разбить на пары, в произведении дающие исходное число. Например,

$a_2=5 плюс 9=14=1 умножить на 14=2 умножить на 7,$

и потому их всегда четное число.

б)  Докажем по индукции, что $a_n=2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$ База $a_1=2 в степени 0$ и $a_2=2 в степени 1$   — по условию. Далее

$a_n плюс 2=5a_n плюс 1 минус 6a_n=5 умножить на 2 в степени n минус 6 умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = 5 умножить на 2 в степени n минус 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка ,$

что и требовалось доказать. Значит, $a_2023=2 в степени левая круглая скобка 2022 правая круглая скобка$ и его самый большой простой множитель это 2.

в)  Если число имеет разложение на простые множители $p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка \ldots p_n в степени левая круглая скобка k_n правая круглая скобка ,$ то сумма его делителей равна

$левая круглая скобка 1 плюс p_1 плюс p_1 в квадрате плюс \ldots p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс p_2 плюс p_2 в квадрате плюс \ldots p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка 1 плюс p_n плюс p_n в квадрате плюс \ldots p_n в степени левая круглая скобка k_n правая круглая скобка правая круглая скобка ,$

это очевидно, если раскрыть все эти скобки  — каждое слагаемое будет содержать те же простые, что и изначальное число в степенях, не больших, чем изначальное число и потому будут его делителями, и наоборот  — любой делитель может быть записан в таком виде. Значит, если сумма делителей проста, то такая скобка может быть лишь одна, то есть число имеет вид p⁹⁹, а его сумма делителей равна

$1 плюс p плюс p в квадрате плюс \ldots плюс p в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка .$

При нечетных p это четное число, а при p  =  2 получаем

$1 плюс 2 плюс 2 в квадрате плюс \ldots плюс 2 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка = дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 2 минус 1 конец дроби =2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка минус 1= левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 50 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 50 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка ,$

составное число.

Ответ: а)  все; б)  2; в)  нет.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в.	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б.	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  все; б)  2; в)  нет.

632834

а)  все; б)  2; в)  нет.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 398

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	632834	а)  все; б)  2; в)  нет.