РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 630701 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 27.06.2022. Основная волна, резервный день. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 501;

Задания 12 ЕГЭ–2022.

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 3 косинус x плюс синус 2x плюс 6 правая круглая скобка = 1.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Выполним преобразования:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 3 косинус x плюс синус 2x плюс 6 правая круглая скобка = 1 равносильно корень из 3 косинус x плюс синус 2x плюс 6 = 6 равносильно корень из 3 косинус x плюс синус 2x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 3 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 0,2 синус x плюс корень из 3 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 3 косинус x плюс синус 2x плюс 6 правая круглая скобка = 1 равносильно корень из 3 косинус x плюс синус 2x плюс 6 = 6 равносильно$
$равносильно корень из 3 косинус x плюс синус 2x = 0 равносильно косинус x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 3 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0,2 синус x плюс корень из 3 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 3 косинус x плюс синус 2x плюс 6 правая круглая скобка = 1 равносильно$
$равносильно корень из 3 косинус x плюс синус 2x плюс 6 = 6 равносильно корень из 3 косинус x плюс синус 2x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 3 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 0,2 синус x плюс корень из 3 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 3 косинус x плюс синус 2x плюс 6 правая круглая скобка = 1 равносильно$
$равносильно корень из 3 косинус x плюс синус 2x плюс 6 = 6 равносильно$
$равносильно корень из 3 косинус x плюс синус 2x = 0 равносильно косинус x левая круглая скобка 2 синус x плюс корень из 3 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0,2 синус x плюс корень из 3 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = 0, синус x = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ с помощью двойных неравенств. Из первой серии корней:

$Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 Пи меньше или равно Пи плюс 2 Пи k меньше или равно 5 Пи равносильно 1 меньше или равно 2k меньше или равно 4 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно k меньше или равно 2.$

Полученному промежутку соответствуют значения $k=1$ и $k = 2.$ Получаем корни $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ и $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ Отберем корни из второй серии:

$Пи меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 6 Пи меньше или равно 12 Пи k минус 2 Пи меньше или равно 15 Пи равносильно 8 меньше или равно 12k меньше или равно 17 равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби .$ $Пи меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 6 Пи меньше или равно 12 Пи k минус 2 Пи меньше или равно 15 Пи равносильно$
$равносильно 8 меньше или равно 12k меньше или равно 17 равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби .$

Полученному промежутку соответствует значение $k = 1.$ Получаем корень $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$ Отберем корни из третьей серии:

$Пи меньше или равно минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 6 Пи меньше или равно 12 Пи k минус 4 Пи меньше или равно 15 Пи равносильно 10 меньше или равно 12k меньше или равно 19 равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби$ $Пи меньше или равно минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 6 Пи меньше или равно 12 Пи k минус 4 Пи меньше или равно 15 Пи равносильно$
$равносильно 10 меньше или равно 12k меньше или равно 19 равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби$

Полученному промежутку соответствует значение $k = 1.$ Получаем корень $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

630701

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$