PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на диагонали BD1 отмечена точка N так, что 
Точка O — середина отрезка CB1.
а) Докажите, что прямая NO проходит через точку A.
б) Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD1 и CB1 и равна 
Решение.
а) Пусть N' и O' — проекции точке N и O на плоскость ABC. Тогда по свойствам проектирования 
и O' — середина BC. Далее пусть P — основание перпендикуляра из точки N' на AB. Из подобия прямоугольных треугольников ABD и PBN' по острому углу следует 
и 
Имеем 
и 
что означает, что точки A, N' и O' лежат на одной прямой.
Аналогично можно установить, что и проекция NO на плоскость 
проходит через A. А отсюда следует, что и NO проходит через точку A.
б) Прямые BD1 и CB1 — скрещивающиеся, расстояние между ними есть длина их общего перпендикуляра. Длина общего перпендикуляра наименьшая среди длин всех отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых. Из вышесказанного заключаем, что NO перпендикулярен и BD1, и CB1. Тогда CB1 перпендикулярна наклонной AO, а следовательно, по теореме о трех перпендикулярах и её проекции BO. Следовательно, 
— квадрат, как прямоугольник с перпендикулярными диагоналями.
Пусть 
Используя пространственную теорему Пифагора запишем: 
и 
откуда 
Ответ: 216.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |